Diferansiyel Denklemler Teorisi

Prof.Dr. Elman HASANOV, Prof.Dr. Gökhan UZGÖREN ve Prof.Dr. Alinur BÜYÜKAKSOY

 

 

 

ISBN: 975-6797-25-8

Türkçe,  2002, 368 sayfa

(16,5x24 cm2), 80 gr 1. hamur kağıt.                       buy now

Diferansiyel Denklemler konusunda en içerikli ve ciddi bir eser.

Diferansiyel Denklemleri Teorisi adlı bu kitabımızın amacı belirli bir ölçüde diferansiyel denklemler konusunda bir kaynak kitap, üniversite ders kitabı ihtiyacını karşılamaktır. Kitap, klasik diferansiyel denklemler teorisinin büyük bir kısmını sistematik bir şekilde kapsamaktadır. Kitap onbir bölümden oluşmaktadır:

Birinci bölümde “Diferansiyel denklem nedir, nasıl ortaya çıkar ve bir diferansiyel denklemi çözmek ne anlama gelmektedir?” gibi temel konular ele alınmaktadır. Bu bölüm geri kalan bölümlerin de temelini oluşturduğundan, bu bölümün çok dikkatle okunmasında yarar görmekteyiz.

İkinci bölümde mühendislik dallarında ve bazı fiziksel uygulamalarda karşımıza çıkan ve elemanter yöntemlerle çözülebilen diferansiyel denklemler sınıfı ele alınmıştır. Bu denklemlerin çözüm yöntemleri farklı zamanlarda ve farklı matematikçiler tarafından geliştirilmiştir. Sözü geçen metodları pekiştirmek için okurun bölümün sonunda verilmiş soruları çözmesinde yarar vardır.

Üçüncü bölümde türeve göre çözülmemiş diferansiyel denklemler ele alınmaktadır. Bu sınıftan olan denklemler günümüzde de geniş araştırmalara konu olmasına rağmen mühendislik bilim dallarında pek görülmemektedir. Mühendislik bölümü öğrencileri bu bölümü atlayabilirler.

Dördüncü bölümde yüksek mertebeden değişken ve sabit katsayılı lineer denklemler ele alınmıştır. Bu sınıftan olan denklemler klasik teorinin en gelişmiş ve tamamlanmış bölümünü oluşturmasının yanısıra istisnasız olarak bütün mühendislik ve doğa bilim dallarında ortaya çıkmaktadır.

Beşinci bölüm ikinci mertebeden homojen lineer denklemlere ve bu denklemlerin kuvvet serileri yöntemiyle çözümüne hasredilmiştir. Bu bölümde regüler ve tekil nokta kavramları tanımlanmış ve Frobenius yöntemi ele alınmıştır. Bu yöntem aslında yüksek mertebeden olan lineer denklemler için de geçerlidir. Fakat bölümü fazla teknik ayrıntılarla ağırlaştırmamak için yöntem ikinci mertebeden olan denklemler üzerinde açıklanmıştır.

Altıncı bölümde Sturm – Liouville sınır değer problemi ve Green fonksiyonu ele alınmıştır. Bu türden olan problemler fizik ve matematiğin farklı dallarında karşımıza çıkmaktadır. Modern matematiğin pek çok kavramının kökleri bu problemden kaynaklanmaktadır. Bölümde, bu problemin mantıksal devamı olan fakat geleneksel diferansiyel denklemler kitaplarında yer almayan Hilbert – Schmidt teoremine yer verilmesi uygun görülmüştür.

Yedinci bölümde özel fonksiyonlar konusu ele alınmıştır. Bu fonksiyonlar, neredeyse, bütün teknik, fizik ve matematik bilim dallarında meydana çıkan diferansiyel denklemleri çözerken karşılaşılan standart fonksiyonlardır. Bölümde, bu fonksiyonlara ilişkin teori, ileri mühendislik konularında ortaya çıkacak ihtiyacı karşılayacak seviyede verilmiştir.

Sekizinci ve dokuzuncu bölümlerde değişken ve sabit katsayılı lineer diferansiyel denklem sistemleri ele alınmıştır. Bu türden olan denklemlerin genel teorisi, yüksek mertebeden lineer denklemlerin genel teorisiyle önemli bir benzerlik göstermektedir ve büyük ölçüde lineer cebir yöntemlerine dayanmaktadır. Bu nedenle dokuzuncu bölümde lineer cebir ile ilişkili bazı kavramların hatırlatılması uygun görülmüştür. Bu kavramları bilen okur, dokuzuncu bölümü incelerken hemen 9.3 ayrıtından başlayabilir.

Onuncu bölümde Laplace dönüşümü ve uygulamaları ele alınmıştır. Laplace dönüşümü mühendislik bilim dallarında meydana çıkan hemen hemen tüm sabit katsayılı diferansiyel denklemlere ilişkin başlangıç değer problemlerini çözmek için kullanılan bir yöntem olmasının yanısıra fizik ve matematikte de önemli uygulamalara sahiptir. Bir çok elemanter fonksiyonun Laplace dönüşümünün hesaplanması algoritmik karakter taşıdığı için, okurun bölümün sonunda verilmiş problemleri çözmesinde büyük yarar görüyoruz.

Onbirinci bölüm diferansiyel denklemlerin nitel teorisine ayrılmıştır. Gerek pratikte gerekse teoride meydana çıkan bir çok diferansiyel denklem elemanter yöntemlerle çözülememektedir ve çoğu kez buna ihtiyaç da duyulmamaktadır. Bu türlü problemlerde önemli olan zamanın büyük değerleri için çözümün davranışıdır, başka bir değişle çözümün asimptotik özellikleridir. Denklemi çözmeden çözümlerin özelliklerinin incelenmesi nitel teorinin konularından birisidir. Günümüzde modern diferansiyel denklemler teorisi, büyük ölçüde nitel teori karakteri taşımaktadır.

Yukarıda söylendiği gibi kitap büyük ölçüde klasik diferansiyel denklemler teorisinin (sayısal yöntemlerin dışında) büyük bir kısmını kapsamaktadır. Bu nedenle bu kitabı temel alarak ders programını hazırlayan öğretim elemanı ve öğrencilerimizin aşağıdaki hususları dikkate almalarında yarar görmekteyiz.

Mühendislik bölümü öğrencilerine birinci bölümün (1.7 ayrıtı hariç), ikinci bölümün (2.8 ayrıtı hariç) dördüncü bölümün (4.10 ayrıtı hariç), dokuz ve onuncu bölümlerin verilmesi uygun görülmektedir. Fizik bölümü öğrencileri üçüncü ve onbirinci bölümün dışındaki bütün bölümleri, ciddi bir matematik eğitimi almak isteyen matematik ve yüksek lisans öğrencileri ise kitabın bütün bölümlerini öğrenmek zorundadır.

Kitapta öğrencinin konuyu berrak bir biçimde anlamasını kolaylaştıracak toplam 128 çözümlü örnek verilmiştir. Bölüm sonlarına, okuyucunun öğrendiklerini pekiştirmesine imkan sağlamak amacı ile beşyüzün üzerinde problem konmuştur. Okuyucunun kendini sınaması amacıyla, bu problemlerin büyük bir kısmının sonuçları kitabın sonunda toplu halde verilmiştir.

Türkiye'nin İnternet kitapçısı; online kitap satış ---> www.tdk.com.tr            şimdi satın al

 

İÇİNDEKİLER

 ÖNSÖZ
 

Bölüm 1.   Temel Kavramlar ve Tanımlar

1.0.   Bölümün Amacı

1.1.   n’ci mertebeden Adi Diferansiyel Denklemin Tanımı

1.2.   Diferansiyel Denklemlerin Oluşturulması

1.3.   Türeve Göre Çözülmüş Denklemler

1.4.   Diferansiyel Denklemlerin Çözümü

1.5.   İzoklin. (1.13) Denkleminin Geometrik Yorumu

1.6.   Başlangıç Değer Problemi

1.7.   Genel, Özel ve Tekil Çözüm

         Birinci Bölüme Ait Problemler

 

Bölüm 2.  Belirsiz İntegrale Dönüştürülebilir 1. Mertebeden  Diferansiyel  Denklemler Sınıfı

2.0.    Bölümün Amacı

2.1.    Sağ Tarafı Değişkenlerden Birini İçermeyen Denklemler

2.2.    Değişkenlerine Ayrılabilir Denklemler

2.3.    Homojen Diferansiyel Denklemler

2.4.    Birinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

2.5.    Bernoulli Denklemi

2.6.    Tam Diferansiyel Denklemler

2.7.    İntegrasyon (Euler) Çarpanı

2.8.    Riccati Denklemi

         İkinci Bölüme Ait Problemler

 

Bölüm 3.  Birinci Mertebeden Türeve Göre Çözülmemiş Denklemler

3.0. Bölümün Amacı

3.1. Türeve Göre Çözülmemiş Denklemlerin Geometrik Yorumu

3.2. Tüm Olmayan Denklemler

3.3. Denkleminin Parametre Yardımıyla Çözümü

3.4. Lagrange Denklemi

3.5. Clairaut Denklemi ve Legendre Dönüşümü

       Üçüncü Bölüme Ait Problemler

 

Bölüm 4.   Yüksek Mertebeden Diferansiyel Denklemler Lineer Denklemlerin Genel Teorisi

4.0.  Bölümün Amacı

4.1.  Yüksek Mertebeden Denklemler İçin Bazı Kavramlar

4.2.  Yüksek Mertebeden Denklemler İçin Cauchy Problemi

     4.3.  Yüksek Mertebeden Denklemler İçin Sınır Değer Problemi

4.4.  Yüksek Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

4.5.  Bir Fonksiyonlar Sistemine İlişkin Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Kavramları

4.6.  Homojen Lineer Denklemin Genel Çözümü

4.7.  Homojen Olmayan Lineer Denklemin Genel Çözümünün Yapısı

4.8.  Sabit Katsayılı Lineer Denklemlerin Genel Teorisi

4.9.  Bilinmeyen Katsayıları Yöntemi

4.10. Euler - Cauchy Denklemi

      Dördüncü Bölüme Ait Ek Bilgiler Ve Problemler

 

Bölüm 5.   İkinci Mertebeden Homojen Lineer Diferansiyel Denklemler - Frobenius Yöntemi

      5.0. Bölümün Amacı

      5.1.  İkinci Mertebeden Lineer Denklemler Üzerinde Bazı Dönüşümler

      5.2.  İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemin Kuvvet Serisi Yardımıyla Çözümü

      5.3.  Tekil Noktaların Civarında Çözümün Kuvvet Serisine Açılımı - Frobenius Yöntemi

                  Beşinci Bölüme Ait Ek Bilgiler Ve Problemler

 

Bölüm 6.  Sturm-Liouville Sınır Değer Problemi - Green Fonksiyonu

  6.0.  Bölümün Amacı

  6.1.  Sturm-Liouville Problemi

        6.2.  Sturm-Liouville Teoremi

        6.3.  Green Fonksiyonu - Hilbert ve Schmidt  Teoremi

             Altıncı Bölüme Ait Problemler

 

Bölüm 7.  Özel Fonksiyonlar

7.0.     Bölümün Amacı

7.1.     Özel Fonksiyonlar

7.2.     Bessel  Denklemi

7.3.     Bessel Fonksiyonlarının Bazı Özel Halleri

7.4.     Tam İndisli Bessel Fonksiyonları İçin Türetici Fonk. ve Bessel Fonk. İntegral Şeklinde Gösterilmesi

7.5.     Bessel Denklemi İçin Sınır Değer Problemi

7.6.     Legendre Denklemi ve Legendre Polinomları

7.7.     Legendre Polinomlarının Dikliği

7.8.     Legendre Polinomları İçin Türetici Fonksiyon ve Rekurans Bağıntılar

7.9.     Legendre Polinomlarının İntegral Gösterimi

7.10.  Hermite Fonksiyonları

7.11.  Hermite Polinomları İçin Türetici Fonksiyon ve Rekurans Bağıntılar

7.12.  Hermite Polinomlarının Dikliği

7.13.  Çebışev-Laguerre Polinomları

7.14.  Çebışev-Laguerre Polinomları İçin Rekurans Bağıntılar

7.15.  Çebışev-Laguerre Polinomlarının Dikliği

  Yedinci Bölüme Ait Problemler

 

Bölüm 8.   diferansiyel Denklem Sistemleri

8.0.     Bölümün Amacı

8.1.     Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklem Sistemi

8.2.     Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklem Sisteminin Vektörel Yorumu

8.3.     Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri

8.4.     Lineer Sistemlerin Bazı Özellikleri. Fonksiyon Sisteminin Lineer Bağımsızlığı Kavramı

8.5.     Homojen Lineer Diferansiyel Sisteminin Temel Çözüm Sistemi

8.6.     Homojen Olmayan Lineer Denklem Sistemi

    Sekizinci Bölüme Ait Problemler

 

Bölüm 9.  Lineer Diferansiyel Denklemler Sistemi

9.0     Bölümün Amacı

9.1.     Birinci Mertebeden Sabit Katsayılı Lineer Diferansiyel Denklemler   Sistemi

9.2.     Karakteristik Denklem. Özdeğer, Özvektör ve Ek Vektörler

9.3.     Sabit Katsayılı Lineer Diferansiyel Denklemler Sisteminin Genel Çözümünün Bulunması

9.4.     Üstel Matris. Sabit Katsayılı Lineer Sistemlerin Temel Çözümler Sistemi

9.5.     Homojen Olmayan Sabit Katsayılı Lineer Denklemler Sistemi

   Dokuzuncu Bölüme Ait Problemler

 

Bölüm 10.  Laplace Dönüşümü

    10.0.  Bölümün Amacı

 10.1.  Laplace Dönüşümünün Tanımı

 10.2.  Laplace Dönüşümünün Varlığı İçin Yeter Koşul

 10.3.  Laplace Dönüşümünün Temel Özellikleri

 10.4.  Periyodik Fonksiyonun ve Basamak Fonksiyonun Laplace Dönüşümü

 10.5.  Dirak'ın Delta Fonksiyonu. Distribüsiyon Kavramı

 10.6.  İki Fonksiyonun Konvolüsyon

 10.7.  Ters Laplace Dönüşümü

 10.8.  Ters Laplace Dönüşümünün varlığı,Tekliği ve Hesaplanması

 10.9.  Laplace Dönüşümünün Yardımıyla Lineer Diferansiyel Denklemlerin Çözümü

          Onuncu Bölüme Ait Problemler

 

Bölüm 11. Diferansiyel Denklemlerin Nitel Teorisine Giriş

11.0.  Bölümün Amacı

11.1.  Faz Düzlemi ve Faz Eğrileri

11.2.  Faz Akımı

11.3.  Denge Noktaları. Vektör Alanları

11.4.  Liyapunof Anlamında Kararlı Çözümler

11.5.  Lineer Sistemlerin Faz Eğrileri

11.6.  Lineer Olmayan Sitemlerin Denge Noktaları ve Faz Eğrileri

11.7.  Matematiksel Sarkacın Faz Düzlemi ve Faz Eğrileri

11.8.  Limit Çevrimler. Bendikson ve Poinkare-Bendikson Teoremleri

   Onbirinci Bölüme Ait Problemler

 

Diferansiyel Denklemler Teorisinin Kısa Tarihi

Soruların Cevapları

KAYNAKÇA

DİZİN

Matematik Kitapları - Üniversite Matematiği Kitapları - Üniversite Kitapları